Ознакомьтесь с нашей политикой обработки персональных данных
21:14 

Предельно просто

Iskra_
Биофизик и биокит
Эта запись для тех, кто в школе прогулял все уроки математики. Подчеркиваю, ВСЕ, ибо тому, кто ходил на них хотя бы раз в пару недель, уже будет неинтересно. Эта запись составлена при участии Капитана Очевидность: речь пойдет о том, о чем имеют представление все люди, посещавшие общеобразовательную школу.

Кроме того, в ней присутствуют фотографии моей школьной тетради плохого качества.

Вернемся на минутку к вопросу, который я задавала чуть ли не год назад: : 0,9999999.... = 1 или нет?
www.diary.ru/~lytdybr-botana/?query=%EC%E8%F0%E...

- Дети, лучше вам прямо сейчас вынесет мозг, чем в 10м классе вы будете меня доставать: это не равно! Это меньше! - говорила Оксана Юрьевна, твердо заявляя юным-зеленым девятиклашкам: 0,(9) = 1 и не удод.

Весь девятый класс мы ходили как в воду опущенные и нравственно страдали: ну как так может быть! Это же неправда!
А в начале 10го класса Оксана Юрьевна уже не спрашивала "Равно или нет?" а поставила четкую задачу - выйти к доске и доказать, почему равно.
Докажу и я вам.
Но в начале задумайтесь немножко о бесконечности.



Ведь согласитесь, тоже утверждение спорное. Что такое одна третья часть, понимают все. Разрезали яблоко на три кусочка - вот и одна третья. А что такое "Ноль целых, три в периоде" не очень-то ясно. А это, между тем, бесконечно продолжающаяся операция. Яблоко разрезали на 10 частей, каждому из трех детей дали по три кусочка, один остался. Разделили его на десять частей. Каждому раздали по три маленьких кусочка. Один остался. Разрезали его на десять совсем крохотных кусочков...
Продолжать?

Важно понять: мы никогда не придем к ситуации, при которой у нас остался крохотный кусочек, которого как бы "не хватает" до целого яблока. Не останется в руках никакого кусочка. Потому, что, повторю, бесконечность - это бесконечный процесс.

Те, кто не верят здравому смыслу, поверьте хотя бы калькулятору: он-то всегда говорит правду! ;)
Но это вариант для бедных. Я думаю, все и так разберутся, что к чему. Без калькулятора. С помощью мозга.


Итак, мы поверили:



А теперь - легкий финт: ловкость рук и никакого мошенничества!



Обе части равенства домножили на 3, от этого равенство не нарушится.

Есть и еще один способ доказательства. Он немного сложнее. Здесь в первой строке число 0,(9) "называют" переменной a, во второй - обе части первого равества домножили на 10, а в третьей - из каждой вычли число а.



Ну, теперь-то верите?



Прежде всех понятий и определений - самый простой пример. Все знают слово "стремиться" - стараться достичь чего-то, приближаясь. Можно стремиться к своей цели, стремиться к какому-то месту... А к чему стремится вот такое число, а вернее, вот такая сумма чисел:



В конце ряда стоит многоточие - все его члены образованы по такому принципу: каждый следующий вдвое меньше предыдущего.
Чтобы ответить на такой вопрос, представим алгебраическое выражение геометрически. Нарисуем одну вторую, затем нарисуем одну четвертую...

Целый квадрат - единица.



Покажем на нем половинку:



Добавим к ней четвертинку:



Следующее слагаемое - одна восьмая:



Одна шестнадцатая...



Вы уже поняли смысл, а порядком задолбалась, надо признать, поэтому на следующем квадратике показаны одновременно 16ая, 32ая, 64ая и 128ая доля...



Теперь очевидно, что сумма этого ряда чисел - единица. Хотя вроде бы кажется, что в уголке квадратика обязательно всегда останется один маленький незакрашенный кусочек. Ну обязательно! И если взять микроскоп, то его можно будет разглядеть. Конечно, тогда ваш "оппонент" тоже возьмет микроскоп и продолжит упрямо делить квадратики. Но вы хитры: вы возьмете электронный микроскоп. Он, к сожалению, тоже. И к еще большему сожалению, однажды вам надоест придумывать все более мелкие микроскопы - а ему не надоест никогда, потому что ваш оппонент - бесконечность.
Не останется там этого маленького кусочка, не ищите его. Кусочек может остаться в том случае, если квадратик делили-делили, а потом перестали. Может, через миллиард лет перестали, и кусочек крохотный - но перестали же! Но какбэ это не наш случай.

Бесконечность бесконечна, в этом-то весь и фокус.

Там, где есть бесконечность, простота хуже воровства. (с) Оксана Юрьевна

Ладно, закончили с яблоками и квадратиками.


Еще раз скажу, что предел - это какое-то число, к которому все ближе и ближе находится каждый следующий член последовательности. Они могут подбираться бесконечно близко, быть очень похожими на свой предел! Предел "недостижим" и непреходим. Попробую показать...



Вы видите, что члены этой последовательности уменьшаются. Каждый следующий все меньше и меньше, чем предыдущий. Однажды мы дойдем до числа



Мы доходим почти до нуля (вы согласны, что это число крайне мало?). Каждое следующее число все ближе к нулю. Они, кажется, бесконечно к нему подбираются, но снова и снова - каждое следующее - еще ближе.
При этом через ноль ни одно из них не переходит (согласитесь, число меньше нуля таким образом получить невозможно).
О чем говорят все эти факты? О том, что ноль является пределом данной последовательности.



Но бывают последовательности, не имеющие предела. Например, простейшая из них - "пересчет картошки" (то есть последовательность натуральных чисел): раз, два, три...



У этой последовательности нет числа, которого она не могла бы перейти, и рядом с которым "кучковались" бы ее члены. Она стремится к бесконечности.


О черт, начала писать этот пост для того, чтобы показать и объяснить определение предела последовательности (формальное научное определение! я в него въехала раза с десятого!) и поняла, что не буду этого делать. Нафиг-нафиг.

Ладно, так и быть, покажу, но не жалуйтесь, что ничего не понятно - так и должно быть ;)



Ну как, поняли что-нибудь? Нет? И слава богу, выдохните спокойно. (:
Если все-таки что-то поняли - вы уверены, что вы не математик, по ошибке забредший под кат этой записи? ;)

Вместо этого - ловите на десерт няку.

Ну, во-первых, анекдоты! (Бояны, естественно, каждый из них есть на любом сайте любого матфака. Но зато теперь-то вы их поймёте!)

Математик организовал лотерею, в которой приз является бесконечной суммой денег.
Когда выиграшный билет вытянут, ликующий победитель начинает требовать приз, математик объясняет способ оплаты: "1 доллар теперь, 1/2 доллара на следующей неделе, 1/3 доллара еще через неделю... "
_____________________________________

В магазин заходит бесконечное число математиков. Первый просит килограмм картошки, второй - полкило, третий - четверть... "Понял," - говорит продавец и кладет на прилавок два килограмма.
_____________________________________

На экзамене по математическому анализу студентка так начинает определять предел последовательности:
- Число А называется пределом последовательности, если для любого эпсилон задом наперед...
- Где Вы нашли такое странное определение - удивляется экзаменатор.
Студентка - в слезы:
- Так было на лекциях!
Позвали лектора, который некоторое время подумав, вдруг радостно восклицает: - Я говорил: Для любого эпсилон заданного наперед...
_____________________________________

Предел группы студентов, при количестве студентов на паре стремящемся к нулю равен старосте.
_____________________________________


И еще - тоже на десерт - головоломка.



Этот равнобедренный треугольник получен так: в него вписана окружность, касающаяся трех сторон. В нем проведен диаметр параллельно основанию. Сама окружность как бы "отсечена" (будто треугольник отрезали параллельно основанию). В оставшийся треугольник снова вписана окружность. В ней проведен диаметр, и она тоже "отрезана". И так далее.
Вы уже можете сказать (и даже объяснить это кому угодно!) что никогда не настанет момент, когда в этом треугольнике нельзя будет провести очередную окружность. Окружности проводят бесконечно! И так как их проводят не на бумаге, а мысленно, математиков не волнует, что не придуманы (и никогда не будут придуманы!) такие точные микроскопы и такие тонкие карандаши, чтобы сделать это в реальности.

Вопрос к головоломке стоит так: чему равна сумма всех диаметров?

Не спешите пролистывать и читать ответ, подумайте сами.






















Подумали? Ну тогда проверяйте.
















В данном случае картинка не помогает, а скорее мешает решить головоломку - она нарочно так составлена! "Повернем" диаметры вертикально - и сразу все станет понятно.
Хотя диаметров будет проведено бесконечно много, их сумма обязательно будет равна высоте треугольника. Все мелкие косяки объясняются исключительно корявостью рисунка (:



Дочитали до этого места? Искра любит вас! (:

Вопрос: Ну как пост?
1. Я гуманитарий, мне понравился пост  3  (37.5%)
2. Я гуманитарий, мне не понравился пост  1  (12.5%)
3. а я математик, а я заблудился!  4  (50%)
Всего: 8

@темы: математика для гуманитариев

URL
Комментарии
2010-09-11 в 23:05 

Sagara Sousuke
Глазами не увидеть, Мозгами не понять.
>Предел группы студентов, при количестве студентов на паре стремящемся к нулю равен старосте.

Как староста групп с большим стажем, заявляю -
1) староста не равен нулю
2) староста не капитан и довольно часто покидает тонущую пару отнюдь не последним.

Правильнее было что предел группы студентов при времени опоздания педагога на пару, стремящемуся к бесконечности равен старосте, ибо он спит на камчатке

> В магазин заходит бесконечное число математиков. Первый просит килограмм картошки, второй - полкило, третий - четверть... "Понял," - говорит продавец и кладет на прилавок два килограмма.

- просто супер! ради этого математикам СТОИТ забрести в данный пост!

2010-09-12 в 03:49 

Iskra_
Биофизик и биокит
Sagara Sousuke
Как староста групп с большим стажем, заявляю -
1) староста не равен нулю
2) староста не капитан и довольно часто покидает тонущую пару отнюдь не последним.

Правильнее было что предел группы студентов при времени опоздания педагога на пару, стремящемуся к бесконечности равен старосте, ибо он спит на камчатке


Чтобы узнать это от тебя, стоило написать пост! (:
...ну а второй анекдот - боян, который я интуитивно понимала и в седьмом классе, но теперь-то уж... ;)

URL
2010-09-12 в 10:32 

aliceveverica
Yes, now I see the sun(с)
мда, за год отсутствия математики в моей жизни я уже забыла все эти значки и названия)

2010-09-12 в 11:13 

Отпусти и успокойся (с)
Отличный пост, не зря забрел)
Про окружности в треугольнике задачу не видел раньше, но хорошо для только изучающих)
Эпсилон заданный наперед О_о странное объяснение.
У нас кстати староста тоже может раньше всех уйти, так что...
Блин, а про то, что 0,9 равно 1 было на тервере несколько дней назад.. такое ппц... парень на основе этого пытался вывести то, что мы не можем назвать бесконечность бесконечностью... в начале было интересно, потом ржачно, а потом захотелось спать)

2010-09-12 в 17:13 

Iskra_
Биофизик и биокит
just_Alice
И как, после прочтения поста вспомнилось? Цель постов с тэгом МДГ - подружить "математиков" и "гуманитариев" (слова в кавычках, ибо сами понятия довольно упрощенны и условны), доказать, что нам может быть интересно друг с другом (:

Mister_Zi_Cold
Редкая похвала звучит в два раза приятнее. Нечасто тебе нравятся мои посты... Ну а "эпсилон, заданное наперед" - по-моему, нормальное объяснение, примерно так же все и происходит (:

URL
2010-09-12 в 17:24 

Отпусти и успокойся (с)
Iskra_ Порой задом наперед больше вставляет и лучше запоминается)
Да просто.... Побщался с тобой в реальности, понял что я идиот и теперь оцениваю все спокойно и со стороны)

2010-09-13 в 02:33 

Iskra_
Биофизик и биокит
Mister_Zi_Cold
Самокритично... но по-джедайски (: так же самому жить проще (:
Не все эпсилоны одинаково полезны (:

URL
   

Пять килограммов вакуума

главная